Poprzedni artykułpreviousnextNastępny artykuł

Macierze przekształceń elementarnych (1)

Dla każdej macierzy kwadratowej A możemy znaleźć taką macierz przekształcenia E, T albo I, że pomnożenie lewostronne macierzy A przez macierz przekształcenia wykona odpowiednie przekształcenie na wierszach macierzy A, a pomnożenie prawostronne, wykona odpowiednie przekształcenie na wierszach A.

Macierz przekształcenia E

Macierz
Macierze przekształceń elementarnych
Macierze przekształceń elementarnych
i – oznacza wiersz macierzy wyjściowej, do którego nastąpi dodanie
j – oznacza wiersz macierzy, który zostanie pomnożony przez c i dodany do i
c – oznacza stałą mnożenia
e – oznacza macierz przekształcenia (wyjściową)
r i k – oznaczają wiersz i kolumnę tej macierzy, gdzie należy umieścić mnożnik c. Gdy r=i oraz k=j wstawiamy tam mnożnik c, gdy r=k wstawiamy 1, 0 wstawiamy we wszystkich pozostałych miejscach
Podobnie wykonujemy operacje na kolumnach.
Mamy macierz:
Macierze przekształceń elementranych
Wyznacznik tej macierzy wynosi:
Macierze przekształceń elementarnych
Do wiersza drugiego dodajemy wiersz trzeci pomnożony przez 2:
Macierze przekształceń elementarnych
i=2, j=3, c=2
Mnożnik c=2 umieszczamy w wierszu r=i=2 oraz w kolumnie k=j=3
Macierze przekształceń elementarnych
Macierze przekształceń elementarnych
Jeżeli teraz pomnożymy
Macierze przekształceń elementarnych
Przykład w klasie Matrix059:

1.0 0.0 0.0 0.0 
0.0 1.0 2.0 0.0 
0.0 0.0 1.0 0.0 
0.0 0.0 0.0 1.0 
x
-1.0 2.0 3.0 4.0 
5.0 -6.0 7.0 8.0 
9.0 10.0 -11.0 12.0 
13.0 14.0 15.0 16.0 
-18752.0
=
-1.0 2.0 3.0 4.0 
23.0 14.0 -15.0 32.0 
9.0 10.0 -11.0 12.0 
13.0 14.0 15.0 16.0 
-18752.0

Jeżeli chcemy wykonać operację na kolumnach (czyli do kolumny drugiej dodać wartość kolumny trzeciej pomnożonej przez dwa) musimy naszą wartość c umieścić w drugiej kolumnie i w trzecim wierszu oraz dokonać mnożenia prawostronnego: